Чтение графика производной функции. Разработка урока на тему "чтение графика функции". Решение примеров с наличием ограничения по оси ОХ

ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Цель урока : формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.

Материалы и оборудование : компьютерная презентация.

План урока

Организационный момент.
Устный счет «Лови ошибку»
Повторение теоретического материала по теме «Своя опора»
Отработка умений
Игра «Компетентность»
Подведение итогов.

Ход урока.

Организационный момент. В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий ЕГЭ, связанных с графиками функций и их производных.
Устный счет

(2х 2) / =2х; (3х-х 3) / =3-3х; х / =1 х

Повторение теоретического материала по теме. (нарисовать человечка в тетради, означающего настроение в начале урока)

Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:

Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.
Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х 0 . Тогда если при переходе через точку х 0 производная:

а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции,

б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции,

в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.

Х (у нас отрезок [а; b ]) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.

Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале. Причем варианты графиков производной могут быть различны.

Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.

Отработка умений. Рассмотрим задачу:
Игра «Компетентность»
Подведение итогов. (нарисовать человечка в тетради, означающего настроение в конце урока) Роль «подводящий итоги» (он скажет, какая мысль (вывод, результат…)на уроке была, по его мнению, главной)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ и ли на пути к ЕГЭ

План урока Организационный момент. Устный счет «Лови ошибку» Повторение теоретического материала по теме, конспект «Своя опора» Отработка умений Игра «Компетентность» Подведение итогов.

Устный счет «Найди ошибку» (2х 2) / = х (3х-х 3) / = 3-3 2 4 х 2 - -5

Повторение теоретического материала по теме f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х. Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х. Если график производной на интервале Х расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале. Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 « Своя опора» Возрастает Убывает Возрастает

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 Е сли при переходе через точку х 0 производная: а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции, б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции, в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет. Повторение теоретического материала по теме « Своя опора» Н еобходимое условие существования экстремума: Если функция y=f (x) имеет экстремум в точке х=х 0 , то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует. max min

Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ) промежутки возрастания: (-5;-1), (2;8),(11;12) Ответ: 6 1 f(x) f / (x) + + +

Отработка умений промежутки убывания: (-1;0), (9;12) Ответ: 3 2 f(x) f / (x) – – Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)

Отработка умений Ответ: -3 3 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)

Отработка умений Ответ: - 3 4 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)

Отработка умений 5 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)

Игра «Компетентность » Участники: две команды – фирмы конкуренты Команды придумывают друг для друга по 3 задания по теме урока, обмениваются заданиями, выполняют их и показывают решение на доске. Если соперник не справляется, то задающая вопрос команда сама должна ответить на него. Каждая фирма оценивает работу фирмы-конкурента по 5-бальной системе (каждое задание и каждый ответ) Спонсоры знаний: Петрова Гелена и Семенова Куннэй

Подведение итогов Рисуем человечка Подводим итог: что на уроке было главным? что было интересным? чему научились? Критерии оценок: 28-30 баллов – оценка «5» 20-27 баллов – оценка «4» 10-19 баллов – оценка «3» ниже 10 баллов – рекомендация на кропотливую работу по подготовке к ЕГЭ

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательная: Закрепить навыки работы учащихся с графиками функций при подготовке к ЕГЭ.

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Чтение графиков. ЕГЭ”

Ход урока

1. Фронтальный опрос.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Что называется графиком функции, областью определения и областью значений функции? Определить область определения и область значений функций.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Какая функция называется четной, нечетной, свойства графиков этих функций?

2. Решение упражнений

1) <Презентация. Слайд 7>.

Периодическая функция. Определение.

Решить задание: Дан график периодической функции, x принадлежит интервалу [-2;1]. Вычислить f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Решение неравенств с помощью графиков функций.

а) Решите неравенство f(x) 0, если на рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на промежутке [-7;6]. Варианты ответов: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4) (-6;0) (2;4) +

б) На рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-4;7].Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) -1.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4;0,5] U + , 4) [-4;0,5]

в) На рисунке изображены графики функций y=f(x),и y=g(x), заданных на промежутке [-3;6]. Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) g(x)

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Возрастающая и убывающая функции

На одном из рисунков изображен график функции, возрастающей на отрезке , на другом - убывающей на отрезке [-2;0]. Укажите эти рисунки.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Показательная и логарифмическая функции

а) Назовите условие возрастания и убывания показательной и логарифмической функций. Через какую точку проходят графики показательной и логарифмической функции, каким свойством обладают графики этих функций?

б) На одном из рисунков изображен график функции y=2 -x .Укажите этот рисунок.

График показательной функции проходит через точку (0, 1).Так как основание степени меньше 1, то данная функция должна быть убывающей. (№3)

в) На одном из рисунков изображен график функции y=log 5 (x-4). Укажите номер этого графика.

График логарифмической функции y=log 5 xпроходит через точку (1;0) , тогда, если х -4 = 1, то у=0, х=1+4, х=5 . (5;0) – точка пересечения графика с осью ОХ. Если х -4 = 5 , то у=1, х=5+4, х=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Нахождение числа касательных к графику функции по графику ее производной

а) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции проведены все касательные, параллельные прямой y=5-2x (или совпадающей с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

K = tga = f’(x o). По условию k=-2.Следовательно, f’(x o) =-2. Проводим прямую у=-2. Она пересекает график в двух точках, значит, касательные к функции проведены в двух точках.

б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f(x), в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс или совпадают с ней.

Угловой коэффициентпрямых, параллельных оси абсцисс или совпадающих с ней равен нулю. Следовательно, К=tg a = f `(x o)=0. Ось ОХ пересекает данный график в четырех точках.

в) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точекграфика функции y=f(x), в которых касательные к графику наклонены под углом 135 о к положительному направлению оси абсцисс.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной функции

а) Функция y=f(x) определена на промежутке [-2;6]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.

k=tga=f’(x o). Наименьшее значение у=-3производная функции принимает в точке х=2. Следовательно, касательная к графику имеет наименьший угловой коэффициент в точке х=2

б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Нахождение значения производной по графику функции

На рисунке изображен график функции y=f(x)и касательная к нему в точке с абсциссой х о. Найдите значение производной f `(x)в точке х о

f’(x o) =tga. Так как на рисунке а - тупойугол, то tg a < 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Нахождение минимума (максимума) функции по графику ее производной

В точке х=4 производная меняетзнак с минусана плюс. Значит, х=4 является точкой минимума функцииy=f(x)

В точке х=1 производная меняетзнак с плюсанаминус. Значит, х=1 является точкой максимума функцииy=f(x))

3. Самостоятельная работа

<Презентация. Слайд 22>.

1 Вариант

1) Найти область определенияфункции.

2) Решить неравенство f(x) 0

3) Определить промежутки убывания функции.

4)Найти точки минимума функции.

5)Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.

2 Вариант

1) Найти область значений функции.

2) Решить неравенство f(x) 0

3) Определить промежутки возрастания функции.

График производной функции y=f(x)

4) Найти точки максимума функции.

5) Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.

4. Подведение итогов урока

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Чтение графика функций. Решение задач В2

В нашей жизни графики встречаются довольно часто, взять хотя бы прогноз погоды, который представляется в виде графика изменения каких-либо показателей, например, температуры или силы ветра с течением времени. Мы не задумываемся, когда считываем этот график, хотя это, возможно, первое чтение графика в нашей жизни. Также можно привести пример графика изменения курсов валют с течением времени и множество других примеров.

Итак, первый график, который мы рассмотрим.

Рис. 1. Иллюстрация графика 1

Как видно, график имеет 2 оси. Ось, смотрящая вправо (горизонтальная), называется осью . Ось, смотрящая вверх (вертикальная), называется осью .

Для начала разберем ось . На данном графике по этой оси отложены число оборотов в минуту у некоторого автомобильного двигателя. Оно может быть равно и т. д. На этой оси также есть деления, часть из них обозначена цифрами, часть из них является промежуточными и не обозначена. Несложно догадаться, что первое деление от нуля - это , третье - и т. д.

Теперь разберем ось . На данном графике по этой оси отложены числовые значения величины Ньютон на метр (), величины крутящего момента, которые равны и т. д. В данном случае, цена деления равна .

Теперь обратимся к самой функции (к той линии, которая представлена на графике). Как видно, эта линия отражает, сколько Ньютонов на метр, то есть какой крутящий момент, будет при конкретном значении оборотов двигателя в минуту. Если мы возьмем значение 1000 об./мин. и от этой точки на графике пойдем влево, то мы увидим, что линия проходит через точку 20, т. е. значение крутящего момента при 1000 об/мин будет равно (рисунок 2.2).

Если мы возьмем значение 2000 об/мин, то линия пройдет уже в точке (рисунок 2.2).

Рис. 2. Определение крутящего момента по количеству оборотов в минуту

Теперь представим, что наша задача - найти наибольшее значение по этому графику. Ищем самую высокую точку (), соответственно, самым низким значением крутящего момента в этом графике будет считаться 0. Чтобы найти наибольшее значение функции по графику, нужно рассмотреть самое большое значение, которое достигает функция по вертикальной оси. Мы смотрим, какое значение выше всех, и смотрим по вертикальной оси, какое будет самое большое достигающееся число. Если же мы говорим о наименьшем значении, то мы берем, наоборот, самую низкую точку и смотрим её значение по вертикальной оси.

Рис. 3. Наибольшее и наименьшее значение функции по графику

Наибольшее значение в данном случае - , а наименьшее значение, соответственно, 0. Важно не перепутать и указать правильно максимальное значение, некоторые указывают максимальное значение 4000 об/мин., это не наибольшее значение, а та точка, в которой принимается наибольшее значение (точка максимума), наибольшее значение - именно .

Также следует обращать внимание на вертикальную ось, ее единицы измерения, то есть, например, если вместо Ньютонов на метр () было бы указано сотни Ньютонов на метр (), значение максимума нужно было бы умножить на сто и т. д.

Наибольшее и наименьшее значение функции очень тесно связаны с производной функции.

Если на рассматриваемом отрезке функция возрастает, то производная функции на этом отрезке положительна либо равна нулю в конечном количестве точек, чаще всего просто положительна. Аналогично, если на рассматриваемом отрезке функция убывает, то производная функции на этом отрезке отрицательна либо равна нулю в конечном количестве точек. Обратное утверждение в обоих случаях верно.

В следующем примере возникают некоторые трудности, связанные с ограничением по горизонтальной оси . Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение на указанном отрезке.

На графике изображено изменение температуры с течением времени. По горизонтальной оси мы видим время и дни, а по вертикальной оси - температуру. Необходимо определить наибольшую температуру воздуха на 22 января, т. е. нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 22 января, т. е. от 00:00 22 января до 00:00 23 января.

Рис. 4. График изменения температуры

Ограничив график, нам становится очевидным, что максимальная температура соответствует точке .

Задан график изменения температуры за трое суток. По оси ox - время дня и числа месяца, по оси oy - значение температуры воздуха в градусах Цельсия.

Нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 13 июля, т. е. от 00:00 13 июля до 00:00 14 июля.

Рис. 5. Иллюстрация к дополнительному примеру

Если не ввести описанные выше ограничение, можно получить неверный ответ, но на заданном интервале максимальное значение очевидно: , и достигается оно в 12:00 13 июля.

Пример 3: определить, какого числа впервые выпало пять миллиметров осадков:

На графике изображено суточное количество осадков в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали - количество осадков в миллиметрах.

Рис. 6. Суточное выпадение осадков

Начнем по порядку. 3-го числа, мы видим, выпало чуть больше 0, но меньше 1 мм. осадков, 4-го числа выпало 4 мм осадков, и т. д. Впервые цифра 5 появляется на 11-ый день. Для удобства можно было виртуально провести прямую линию напротив пятерки, впервые она пересечет график именно 11 февраля, это и является правильным ответом.

Пример 4: определить, какого числа цена унции золота была наименьшей

На графике показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов на каждый день с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали,

соответственно, цена унции золота в долларах США.

Линии между точками проведены только для наглядности, информацию несут исключительно сами точки.

Рис. 7. График изменения цены золота на бирже

Дополнительный пример: определить, в какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение:

На графике задана производная некоторой функции .

Рис. 8. Иллюстрация к дополнительному примеру

Производная определена на отрезке

Как видно, производная функции на заданном отрезке является отрицательной, в левой граничной точке равна нулю. Как мы знаем, если производная функции отрицательная, то функция на рассматриваемом промежутке убывает, следовательно, наша функция убывает на всём рассматриваемом отрезке , в таком случае, наибольшее значение она принимает в самой левой границе. Ответ: точка .

Итак, мы рассмотрели понятие графика функции, изучили, что такое оси на графике, как находить значение функции по графику, как находить наибольшее и наименьшее значение.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Просвещение.

ЕГЭ ().
Фестиваль педагогических идей ().
Учёба-легко.РФ ().

На диаграмме (рисунок 9) показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Рис. 9. График изменения температуры

По этому же графику (рисунок 9), определите разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
На графике (рисунок 10) показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха 15 градусов. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет 45 градусов. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде чем подключить нагрузку к двигателю?

Рис. 10. График разогрева двигателя

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Чтение графика функций. Решение задач В2

1. Объяснение понятие графика, методика чтения

Итак, первый график, который мы рассмотрим.

Рис. 1. Иллюстрация графика 1

Если мы возьмем значение 2000 об/мин, то линия пройдет уже в точке (рисунок 2.2).

Рис. 2. Определение крутящего момента по количеству оборотов в минуту

2. Понятие максимального и минимального значения, методика нахождения максимального и минимального значения функции по графику

Рис. 3. Наибольшее и наименьшее значение функции по графику

Наибольшее и наименьшее значение функции очень тесно связаны с производной функции.

3. Дополнительные сведения о производной функции

4. Решение примеров с наличием ограничения по оси ОХ

Рис. 4. График изменения температуры

Ограничив график, нам становится очевидным, что максимальная температура соответствует точке .

5. Дополнительный пример, задача из ЕГЭ

Нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 13 июля, т. е. от 00:00 13 июля до 00:00 14 июля.

Рис. 5. Иллюстрация к дополнительному примеру

6. Решение других примеров на чтение графика функции

Пример 3: определить, какого числа впервые выпало пять миллиметров осадков:

Рис. 6. Суточное выпадение осадков

Пример 4: определить, какого числа цена унции золота была наименьшей

соответственно, цена унции золота в долларах США.

Линии между точками проведены только для наглядности, информацию несут исключительно сами точки.

Рис. 7. График изменения цены золота на бирже

7. Решение дополнительного примера

Дополнительный пример: определить, в какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение:

На графике задана производная некоторой функции .

Рис. 8. Иллюстрация к дополнительному примеру

Производная определена на отрезке

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Просвещение.

ЕГЭ. Фестиваль педагогических идей. Учёба-легко. РФ.

На диаграмме (рисунок 9) показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Рис. 9. График изменения температуры

По этому же графику (рисунок 9), определите разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия. На графике (рисунок 10) показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха 15 градусов. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет 45 градусов. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде чем подключить нагрузку к двигателю?

Рис. 10. График разогрева двигателя

ШАЙМАРДАНОВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА

Учитель математики высшей квалиф. категории

Средняя школа №1 г. Елабуги

ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Цель урока: формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.

Литература:

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 340 стр.

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 336 стр.

Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010/ под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2009 – 480 с. (Готовимся к ЕГЭ)

Материалы и оборудование: компьютерная презентация.

План урока:

Организационный момент.

Повторение теоретического материала по теме.

Основная часть.

Закрепление пройденного.

Подведение итогов.

Ход урока.

1 . Организационный момент.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение теоретического материала по теме.

Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.

- Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке?

Функция возрастает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Что называется точкой максимума функции?

Точка непрерывной функции, в которой возрастание функции меняется на убывание, является точкой максимума.

- Дайте определение точки минимума функции.

Точка, в которой убывание меняется на возрастание, является точкой минимума .

- Рассмотрим задачу:

На рис.1 изображен график функции у= f (х) . Функция определена на промежутке [-2;9]

Исследовать функцию на монотонность, определить экстремумы функции.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков [-2;2] и , убывает на промежутке , Xmax = 2 , Х min = 5.

- В чем заключается геометрический смысл производной?

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

- Какой знак имеет производная функции, возрастающей (убывающей) на промежутке Х ?

Для возрастающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна в каждой точке промежутка Х .

Для убывающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна в каждой точке промежутка Х .

- Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

Если функция y = f ( x ) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует.

- По графику функции у= f (х) (рис.2 ) укажите:

а) при каких значениях х производная функции равна 0;

б) при каких значениях х производная положительна;

в) при каких значениях х производная отрицательна;

г) в каких точках производная не существует.

Ответ: а) f " (2)=0, f " (5)=0, f " (8)=0;

б) производная положительна на промежутках: (- ∞; 2), (2; 5), (8; 11); в)производная отрицательна на промежутках: (5; 8), (11;+ ∞);

г) производная не существует в точке х=11.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

3. Основная часть.

Формирование знаний, умений и навыков.

Наоборот, по знаку производной можно сделать вывод о характере монотонности функции и ее экстремумах.

Для этого есть достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:

Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.

Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х 0 . Тогда если при переходе через точку х 0 производная:

а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции,

б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции,

в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.

Х (у нас отрезок [ а; b ]) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.

Поведение графика производной функции на [а; b ]

Функция возрастает Функция убывает

Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.

Рассмотрим несколько задач на чтение графика производной функции.

Задача 1. Сколько точек экстремума имеет функция у = f ( x ) , заданная на всей числовой прямой? Исследовать функцию y = f ( x ) на монотонность. Указать длину промежутка убывания функции f ( x ) . (Рис. 3 )

Производная равна 0 в точках: 3, 5, 9. Это критические точки.

Если на промежутке производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает. На данном рисунке это промежутки: (- ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

Функция непрерывна в точках, поэтому добавляем концы промежутков:(- ∞; 3], , . Длина его равна 2.

В точке х=3 производная меняет знак с «+» на « - ». Это точка максимума.

В точке х=5 производная меняет знак с «-» на «+». Это точка минимума.

В точке х=9 производная не меняет знака. Она не является точкой экстремума.

Задача 2. Функция определена на R . На рис. 4 – график ее производной. Указать наибольшую точку минимума функции у = f (х) .

Точка минимума функции – это точка в которой производная меняет знак с «-» на « +».

Из рисунка видно, что таких точек две: -2 и 10. Наибольшая из них – 10.

Задача 3. Функция у= f (х) определена на промежутке (-5; 9). На рис.5 изображен график ее производной. Найдите точку х 0 , в которой функция у = f (х) принимает наибольшее значение.

Производная функции определена на промежутке (-5; 9) и обращается в 0 в точке х =4.

На промежутке (-5; 4) производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке (-5; 4), а так как функция непрерывна в точке 4, то и на промежутке (-5; 4].

На промежутке (4; 9) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке , следовательно, производная функции отрицательна на этом промежутке. Функция возрастает на промежутке , возрастает на промежутке [а; + ∞), значит, производная функции отрицательна на промежутке (- ∞;а), положительна на промежутке (а; + ∞) Это прямая 3.

4. Закрепление пройденного.

Предлагаем тренажер по пройденной теме.

5. Подведение итогов.

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ

Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно тратить много времени. А во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ на вопрос задачи.